Matematika Diskret
Matematika Diskrit
Matriks adalah susunan suatu unsure atau elemen atau fungsi polinom dalam bentuk persegi panjang yang ditentukan dengan baris dan kolam dan dibatasi oleh tanda kurung”. Biasanya dilambangkan dengan huruf kafital. Bilangan- bilangan di dalam susunan tersebut dinamakan entri atau elemen. Suatu matriks memiliki ukuran yang dijelaskan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat pada matriks tersebut. Ukuran pada matriks disebut ordo. Ordo pada matriks atau ukuran matriks adalah suatu bilangan yang menunjukkan banyaknya baris dan di ikuti oleh banyaknya kolom.
Jika matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom maka ordo matriksnya adalah m xn ditulis Pmxn.
Entri disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j .Jika m = n, maka matriks tersebut dinamakan juga matriks bujursangkar (square matriks). Menuliskan matriks dalam bentuk persegi panjang di atas adalah boros tempat, oleh karena itu matriks dituliskan dengan notasi ringkas A = [ ].
1. Beberapa Matriks Khusus
a. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar dengan = 0 untuk i j. Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i j bernilai 0. Dengan kata lain, matriks diagonal adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di atas dan di bawah diagonal utamanya.
Contoh matriks diagonal yang berukuran 3 x 3:
b. Matriks Identitas
Matriks identitas, dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1. Setiap matriks yang dikalikan dengan matriks satuan, maka hasilnya adalah matriks itu sendiri sehingga dinamakan matriks identitas.
Contoh matriks identitas 3 x 3 dan 4 x 4:
c. Matriks Segitiga Atas/Bawah
Matriks segitiga atas/bawah adalah matriks jika elemen-elemen di atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu = 0 jika i < j (i > j).
Maka matriks segi tiga atas adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen di bawah diagonal utamanya.
Contoh:
Maka matriks segi tiga bawah adalah matriks persegi dimana angka 0 (nol) yang menjadi entri atau elemen diatas diagonal utamanya.
Contoh:
d. Matriks Transpose
Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom. Misalkan A = [ ] berukuran mx n, maka transpose dari matriks A, ditulis AT, adalah matriks n x m yang dalam hal ini jika AT = [ ], maka = untuk i =1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, m.
Contoh:
A= AT =
e. Matriks Setangkup (Symmetry)
A adalah matriks setangkup atau simetri jika AT = A, yaitu jika = untuk setiap i dan j. dengan kata lain, pada matriks setangkup elemen di bawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen di atas diagonal terhadap sumbu diagonal matriks.
Maka matriks setangkup adalah matriks yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri, dengan kata lain A=AT.
Contoh:
Karena A=AT maka A setangkup (symmetry).
f. Matriks 0/1 (zero-one)
Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1. Matriks ini banyak digunakan untuk mempresentasikan relasi keterhubungan.
Maka matriks 0 (nol) adalah matriks yang setiap entri atau elemennya merupakan angka nol (0).
Contoh:
Sedangkan matriks satu adalah matriks yang setiap entri atau elemennya merupakan angka satu (1).
2. Operasi Aritmetika Matriks
a. Penjumlahan dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika ukuran keduanya sama. Misalkan A=[ ] dan B = [ ] yang masing-masing berukuran m x n. jumlah Adan B, dilambangkan dengan A + B, menghasilkan matriks C = [ ] yang berukuran m x n, yang dalam hal ini = + untuk setiap i dan j. begitupun dengan operasi pengurangan.
b. Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Misalkan A = [ ] adalah matriks m x n dan B = [ ] adalah matriks n x p. maka, perkalian A dan B, dilambangkan dengan AB, menghasilkan matriks C= [ ] yang berukuran m x p, yang dalam hal ini
Contoh:
Perkalian dua buah matriks:
,
Jadi A x B =
Sifat-sifat operasi perkalian matriks:
1) Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu .
2) Hokum asosiatif berlaku pada operasi matriks:
3) Hokum distributif berlaku pada operasi matriks:
a) (hukum distribusi kiri)
b) (hukum distribusi kanan)
4) Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks, yaitu
5) Perpangkatan matriks didefinisikan sebagai berikut:
6) adalah matriks ortogonal jika
c. Perkalian matriks dengan skalar
Misalkan adalah sebuah skalar. Perkalian matriks dengan skalar adalah mengalikan setiap elemen matriks dengan .
Contoh:
Misalkan dan ,
Maka =
B. RELASI
Notasi: A x B = {( a, b) | a A dan b
|
Cara yang paling mudah menyatakan hubungan antara elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian antara dua himpunan. Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang melemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Relasi biner R anrata A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
Notasi : R ( A x B).
|
Jika ( a, b) Є R, kita gunaka notasi a R b yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a, b) R, kita gunakan notasi a tidak di hubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range atau kodomain) dari R.
Contoh :
Misalkan A = { Amir, Budi, Cecep adalah nama mahasiswa, dan B = { IF221, IF251, IF342, IF3232 } adalah himpunan kode mata kuliah di jurusan Tekhnik Informatika. Perkalian karetesian antara A dan B menghasilkan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah |A| . |B| = 3 . 4 = 12 buah, yaitu :
A B = { (Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), ( Budi, IF251), (Budi, 342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221), (Cecep, IF251),(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada semester ganjil, yaitu :
R = { (Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
Kita dapat melihat bahwa R (A x B ),A adalah daerah asal R, A adalah daerah asalR, dan B adalah daerah hasil R. oleh karena (Amir, IF251) Є R, kita dapat menuliskan Amir R IF251, tetapi (Amir, IF342) R.
Definisi: Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A x A
Dengan kata lain bahwa relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A x A.
1. Representasi Relasi
Selain dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, ada banyak cara lain untuk mempresentasikan atau menyajikan relasi. Dibawah ini disajikan 3 cara yang lazim dipakai untuk mempresentasikan relasi, yaitu dengan tabel ,matriks, dan graf berarah.
a. Representasi Relasi dengan Tabel
Relasi biner dipresentasikan sebagai tabel. Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
Contoh :
P
|
Q
|
2
2
4
2
4
3
3
|
2
4
4
8
8
9
15
|
b. Representasi relasi dengan matriks
Misalkan R adalah relasi dari A = dan B= . relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [ mij ],
M=
Yang dalam hal ini
mij =
Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi bernilai 1 jika dihubungkan dengan , dan bernilai 0 jika tidak dihubungkan dengan . Matriks representasi relasi merupakan contoh matriks zero-one.
Contoh relasi R dinyatakan dengan matriks
Yang dalam hal ini, = Amir, Budi, = Cecep, dan = IF221, = IF251, = IF342, dan = IF323.
Relasi R dapat dinyatakan dengan matriks
Yang dalam hal ini, = 2, = 3, = 4, dan = 2, = 4, = 8, =9, =15.
Relasi R pada sebuah himpunan adaalh unik, yaitu matriks bujursangkar. Relasi pada sebuah himpunan dapat dinyatakan dengan matrik
Yang dalam hal ini, =2, = 3, = 4, = 8, = 9, dan = 2, = 3, = 4, = 8, = 9.
2. Relasi invers
Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. invers dan relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
R-1 = { (b, a) | (a, b) R }
Contoh :
Misalkan P = {2, 3, 4 }Q = {2, 4, 8, 9, 15 }. Jika kita definisikan relasi R dariP ke Q dengan ( p, q) R jika p habis membagi q maka kita peroleh
R = { (2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R-1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan (q, p) R-1 jika qadalah kelipatan dari pmaka kita peroleh R-1 = { (2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
Jika M adalah matriks yang mempresentasikan relasi R,
M=
Maka matriks yang mempresentasikan relasi R-1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,
N = MT =
3. Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi tersebut juga berupa relasi. Dengan kata lain, jika R2 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka operasi R1 R2 , R1 R2 , R1 – R2 dan R1 R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh :
Misalkan A = { a, b, c } dan B = { a, b, c, d }. Relasi R1 = { ( a, a), ( b, b), (c, c ) } dan relasi R2 = { (a ,a ), ( a, b), (a, c), (a, d) } adalah relasi dari A ke B. kita dapat mengkombinasikan :
R1 R2 = { (a, a) }
R1 R2 = { (a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d) }
R1 – R2 = { (b, b), (c, c) }
R2 – R1 = { (a, b), (a, c), (a, d) }
R1 R2 = { (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d) }
Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 R2 = MR1 R2 dan MR1 R2 = MR1 R2 yang dalam hal ini, operator “ “ berarti “ atau “ dan “ “ berarti “ dan “.
4. Komposisi Relasi
Cara lain mengkombinasikan relasi adalah dengan mengkomposisikan dua buah relasi atau lebih. Definisi dari komposisi dua buah relasi didefinisikan sebagai berikut.
Definisi: Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh S o R = { (a, c) | a Є C, dan untuk beberapa b Є B, (a,b) Є R dan (b,c) Є S }.
Contoh :
Misalkan R = { (1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8) } adalah relasi dari himpunan { 1,2,3 } ke himpunan { 2, 4, 6, 8 } dan S = { (2, u ), ( 4, t), (6, t), (8, u) } adalah relasi dari himpunan { 2, 4, 6, ,8 } ke himpunan { s, t, u }.
Maka komposisi relasi R dan S adalah S o R = { (1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
komposisi relasi R dan S lebih jelas lagi jika diperagakan dengan diagram panah sebagai berikut.
5. Sifat – sifat Relasi
a. Refleksif (reflexive)
Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a) R untuk setiap a A.
Contoh:
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif selalu habis membagi dirinya sendiri, sehingga (a, a) R untuk setiap a A.
b. Setangnkup (symmetric) dan tolak-setangkup (antisymmetric)
1) Setangkup (symmetric)
Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a, b) R, maka (b, a) R, untuk semua a, b A.
2) Tolak setangkup (antisymmetric)
Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a, b) R dan (b, a) R maka a = b, untuk semua a, b A.
Contoh :
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif tidak setangkup karena jika a habis membagi b,b tidak habis membagi a, kecualia = b. Sebagai contoh, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4) R tetapi (4,2) R. Relasi “habis membagi” tolak setangkup karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b. Sebagai contoh, 4 habis membagi 4. Karena itu, (4,4) R dan 4 = 4.
3) Menghantar (transitive)
Relasi R pada himpunan A disebut Menghantar jika (a,b) R, dan (b,c) R, maka (a,c) R untuk semua a,b,c A.
Contoh:
Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x+y=6, T : 3x+y=10
X adalah relasi menghantar karena jika x y dan y z maka x z. S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4) S. Sebaliknya, T={(1, 7), (2, 4), (3, 1)}tidak menghantar.
C. FUNGSI
Definisi: Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dariA ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalamB. jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
Yang artinya f memetakan A ke B
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaanatau transformasi. Kita menuliskanf(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B. Himpunan A disebut daerah asal (domain)dari f dan himpunan B disebut daerah hasil(codomain) dari f . Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah(range) dari f . Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.
Gambar merepresentasikan fungsi dari A ke B
Fungsi dapat di spesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantranya:
1. Himpunan pasangan terurut.
Ingatlah bahwa fungsi adalah relasi, sedangkan relasi biasanyan dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut.
2. Formula pengisian nilai (assignment)
Didalam kuliah aljabar atau kalkulus, fungsi di spesifikasikan dalam bentuk rumus pengisian nilai (assignment), misalnya x2, dan . Jika himpunan daerah asal maupun daerah hasil fungsi tidak dinyatakan secara spesifik, maka diasumsikan daerah asal fungsi adalah R dan daerah hasil juga R. dalam bimpunan pasangan terurut kita mendefinisikan fungsi sebagai
3. Kata-kata
Fungsi dapat dikatakan secara eksplisit dalam rangkaian kata-kata. Misalnya, “fadalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu stringbiner”.
4. Kode program (source code)
Fungsi di spesifikasikan dalam bentuk kode program komputer. Misalnya dalam Bahasa Pascal, fungsi yang mengembalikan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat x, yaotu |x|, dituliskan sebagai berikut:
Function abs (x :integer) : integer;
Begin
If x < 0 then
Abs : = -x
Else
Abs : = x;
End;
Daerah asal dari fungsi abs diatas secara jelas dinyatakan himpunan bilangan bilat (integer), dan darerah hasilnya juga bilangan bulat.
Contoh:
Relasi dari ke adalah fungsi dari A ke B. disini . Daerah asal dari f adalah Adan daerah hasil adalah B. jelajah dari fadalah , yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.
Bergantung pada bayangan, fungsi dibedakan menjadi fungsi satu-ke-satu (one-to-one), fungsi pada (onto), atau bukan salah satu dari keduanya.Kita tinjau definisi enis setiap fungsi tersebut berikut ini.
Definisi: jika f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one)atau injektif(injektive) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka bilamana . Jika f(a) = f(b) maka implikasinya adalah a = b.
Fungsi satu-ke- satu.
Relasi dari ke bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f .Relasi dari ke merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah darif.
Definisi:fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada.
Contoh:
Relasi dari ke adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu,karenaf adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
1. Fungsi Inversi
Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikanatau inverse(invers) dari f. fungsi inversi dari f dilambnagkan dengan f -1. Misalkan ai adalahanggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b.
Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yanginvertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan)jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Fungsi f -1 sebagai inversifungsi f
Contoh:
Relasi dari ke adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Inversi fungsi f adalah f -1 . Jadi, f adalah fungsi inverible.
2. Komposisi Fungsi
Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kitajuga dapat melakukan komposisi dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi f dang, dinotasikan dengan f o g, adalah fungsi dari A ke C yang di definisikan oleh
Dengan kata lain, f o g adalah fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f.
Komentar
Posting Komentar